Naključna spremenljivka je numerični opis izida statističnega eksperimenta. Naključna spremenljivka, ki lahko predpostavlja le končno število ali neskončno zaporedje vrednosti naj bi bilo diskretno; tisti, ki lahko v katerem koli intervalu na realni številski črti prevzame katero koli vrednost, naj bi bil neprekinjen. Na primer, naključna spremenljivka, ki predstavlja število avtomobilov, prodanih v določenem prodajalcu na en dan, bi bila diskretna, naključna spremenljivka, ki predstavlja težo osebe v kilogramih (ali funtih), pa bi bila neprekinjena.
Porazdelitev verjetnosti za naključno spremenljivko opisuje, kako se verjetnosti porazdelijo po vrednostih naključne spremenljivke. Za diskretno naključno spremenljivko x , je porazdelitev verjetnosti definirana z masno funkcijo verjetnosti, označeno z f ( x ). Ta funkcija zagotavlja verjetnost za vsako vrednost naključne spremenljivke. Pri razvoju verjetnostne funkcije za diskretno naključno spremenljivko morata biti izpolnjena dva pogoja: (1) f ( x ) ne sme biti negativna za vsako vrednost naključne spremenljivke in (2) vsota verjetnosti za vsako vrednost naključne spremenljivke mora biti enaka.
Neprekinjena naključna spremenljivka lahko prevzame katero koli vrednost v intervalu na premici realne številke ali v zbirki intervalov. Ker je v katerem koli intervalu neskončno število vrednosti, ni smiselno govoriti o verjetnosti, da bo naključna spremenljivka dobila določeno vrednost; namesto tega se upošteva verjetnost, da bo neprekinjena naključna spremenljivka v določenem intervalu.
V zveznem primeru je protipostavka funkcije verjetnostne mase funkcija gostote verjetnosti, označena tudi z f ( x ). Za zvezno naključno spremenljivko funkcija gostote verjetnosti zagotavlja višino ali vrednost funkcije pri kateri koli določeni vrednosti x ; neposredno ne daje verjetnosti, da naključna spremenljivka prevzame določeno vrednost. Vendar pa je območje pod grafom f ( x ), ki ustreza nekemu intervalu, dobljenemu z izračunavanjem integrala f ( x ) v tem intervalu zagotavlja verjetnost, da bo spremenljivka v tem intervalu dobila vrednost. Funkcija gostote verjetnosti mora izpolnjevati dve zahtevi: (1) f ( x ) ne sme biti negativno za vsako vrednost naključne spremenljivke in (2) integralno nad vsemi vrednostmi naključne spremenljivke mora biti enaka.
Pričakovana vrednost ali povprečje naključne spremenljivke - označeno z JE ( x ) ali μ - tehtano povprečje vrednosti, ki jih lahko sprejme naključna spremenljivka. V diskretnem primeru so uteži podane z funkcijo verjetnostne mase, v neprekinjenem primeru pa so uteži podane s funkcijo verjetnostne gostote. Formuli za izračun pričakovanih vrednosti diskretnih in zveznih naključnih spremenljivk so podane z enačbama 2 oziroma 3.
JE ( x ) = Σ x f ( x ) (dva)
JE ( x ) = ∫ x f ( x ) d x (3)
Varianca naključne spremenljivke, označena z Var ( x ) ali σdva, je tehtano povprečje kvadratnih odstopanj od srednje vrednosti. V diskretnem primeru so uteži podane z funkcijo verjetnostne mase, v neprekinjenem primeru pa so uteži podane s funkcijo verjetnostne gostote. Formuli za izračun variance diskretnih in zveznih naključnih spremenljivk so podane z enačbama 4 oziroma 5. The standardni odklon , označen z σ, je pozitivni kvadratni koren variance. Ker se standardni odklon meri v enakih enotah kot naključna spremenljivka, varianca pa v kvadratnih enotah, je standardni odklon pogosto prednostna mera.
Kje( x ) = σdva= Σ ( x - μ)dva f ( x ) (4)
Kje( x ) = σdva= ∫ ( x - μ)dva f ( x ) d x (5)
Dve najpogosteje uporabljeni diskretni porazdelitvi verjetnosti sta binom in Poisson. Masna funkcija binomne verjetnosti (enačba 6) zagotavlja verjetnost, da x uspehi bodo v n poskusi binomskega eksperimenta.
Binomni poskus ima štiri lastnosti: (1) je sestavljen iz zaporedja n enaka preskušanja; (2) pri vsakem preskušanju sta možna dva rezultata, uspeh ali neuspeh; (3) označena verjetnost uspeha na katerem koli preskusu str , se ne spreminja od preskušanja do preizkusa; in (4) preskusi so neodvisni. Denimo, da je znano, da je imelo 10 odstotkov lastnikov dve leti starih avtomobilov težave z električnim sistemom avtomobila. Za izračun verjetnosti, da bi iz skupine 10 lastnikov našli točno 2 lastnika, ki sta imela težave z električnim sistemom, lahko uporabimo funkcijo binomne verjetnosti mase z nastavitvijo n = 10, x = 2 in str = 0,1 v enačbi 6; v tem primeru je verjetnost 0,1937.
Poissonova porazdelitev verjetnosti se pogosto uporablja kot model števila prihodov v objekt v določenem časovnem obdobju. Naključno spremenljivko lahko na primer določimo kot število telefonskih klicev, ki prihajajo v sistem rezervacij letalskih prevoznikov v obdobju 15 minut. Če je znano povprečno število prihodov v 15-minutnem intervalu, lahko Poissonovo funkcijo mase verjetnosti iz enačbe 7 uporabimo za izračun verjetnosti x prihodov.
Denimo, da je povprečno število klicev, ki prispejo v 15-minutnem obdobju, 10. Za izračun verjetnosti, da bo v naslednjih 15 minutah prišlo 5 klicev, je μ = 10 in x = 5 je v enačbi 7 nadomeščeno, kar daje verjetnost 0,0378.
Najpogosteje uporabljena zvezna porazdelitev verjetnosti v statistiki je običajna porazdelitev verjetnosti. Graf, ki ustreza normalni funkciji gostote verjetnosti s povprečjem μ = 50 in standardnim odklonom σ = 5, je prikazan v. Kot vsi običajni grafi porazdelitve je tudi zvončasta krivulja. Verjetnosti za normalno porazdelitev verjetnosti je mogoče izračunati s pomočjo statističnih tabel za standardno normalno porazdelitev verjetnosti, ki je normalna porazdelitev verjetnosti s srednjo vrednostjo nič in standardnim odklonom ena. Preprosta matematična formula se uporablja za pretvorbo katere koli vrednosti iz normalne porazdelitve verjetnosti s srednjo vrednostjo μ in standardnim odklonom σ v ustrezno vrednost za standardno normalno porazdelitev. Tabele za običajno normalno porazdelitev se nato uporabijo za izračun ustreznih verjetnosti.
razlogi za francosko in indijsko vojno
normalna porazdelitev verjetnosti Slika 3: normalna porazdelitev verjetnosti s srednjo vrednostjo ( μ ) 50 in standardni odklon ( σ ) z dne 5. Encyclopædia Britannica, Inc.
Obstaja veliko drugih diskretnih in neprekinjenih porazdelitev verjetnosti. Druge pogosto uporabljene diskretne porazdelitve vključujejo geometrijski, hipergeometrični in negativni binom; druge pogosto uporabljene zvezne porazdelitve vključujejo enakomerno, eksponentno, gama, hi-kvadrat, beta, t in F.
